Question

（本小題滿分14分）
設數列的前項和為，已知，（為常數，，），且成等差數列．
（1）求的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）若數列是首項為１，公比為的等比數列，記，，．證明：．

Answer 1

，

解：（新編題）
（1）∵，，∴，-------------------------2分
∴．
∵成等差數列，∴，
即，∴．---------------------------------------------------5分
解得，或（舍去）．-----------------------------------------------------------------6分
（2）∵，，
∴，-------------------8分
∴，------------------------------------------9分
又，∴數列的通項公式是．-----------------------------------10分
（3）證明：∵數列是首項為１，公比為的等比數列，∴．---------11分
∵，，
∴，　　　　　　　　　 ①
　 ，　　　　　　　　　　 ②
①式兩邊乘以得　　　 ③
由②③得
　    
將代入上式，得．-----------------------------------------14分
另證: 先用錯位相減法求,再驗證.
∵數列是首項為１，公比為的等比數列，∴． --------------11分
又，所以
      ①
       ②
將①乘以2得:            ③
①－③得: ,
整理得:                          -------------------------12分
將②乘以得:       ④
②－④整理得:

-----------------------------------------13分
∴               -----------------------------------------14分