Question

求正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比.

      

Answer 1

解析：方法一：如圖所示，設(shè)四面體的棱長為a，球心為O，OA=R為外接圓的半徑，OO₁=r為內(nèi)切圓的半徑，M是BC的中點(diǎn)，顯然O₁是底面BCD的中心，AO₁⊥底面BCD，過O作ON⊥AM于點(diǎn)N.?

       ∵BC⊥DM,BC⊥AM,∴BC⊥ADM.又∵ON平面ADM，∴BC⊥ON,ON⊥平面ABC,即ON=r.?

       在Rt△AON中，sin∠MAO=.?

       在Rt△AO₁M中，sin∠MAO=，?

       即內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3.?

       方法二：如圖所示，在Rt△AO₁M中，?

       AO₁=,?

       ∴V_A—BCD=×S_△BCD×AO₁=× a²×a=.??

       又∵V _A—BCD=V _O—ABC+V_O—ABD+V_O—ACD+V_O—BCD=rS_全，?

       r=,?

       ∴R=AO₁-r=,即R∶r=3∶1.