Question

已知正四面體ABCD的棱長為a．
（1）求證：AC⊥BD
（2）求AC與BD的距離．
（3）求它的內切球的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：取AC中點E
∵AD=DC，AB=BC
∴AC⊥DE，AC⊥BE
∴AC⊥平面BDE
∴AC⊥BD
（2）取BD中點F，則，EF⊥BD
同理可證EF⊥AC
∴EF為AC與BD的距離
∵正四面體ABCD的棱長為a
∴
∴
（3）設內切球心為O，半徑為r
∵V_A-BCD=V_O-ABC+V_O-PAB+V_O=PBC+V_O-PAC
∴
分析：（1）取AC中點E，根據AD=DC，AB=BC，可知AC⊥DE，AC⊥BE，從而AC⊥平面BDE，故可證AC⊥BD
（2）取BD中點F，證明EF為AC與BD的距離，由于正四面體ABCD的棱長為a，故可求；
（3）設內切球心為O，半徑為r，利用V_A-BCD=V_O-ABC+V_O-PAB+V_O=PBC+V_O-PAC，各底面面積相等，故可求．
點評：本題以正四面體為載體，考查線線垂直，考查異面直線間的距離，考查體積公式的運用，屬于基礎題．