Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）求使函數f（x）-g（x）的值為正數的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分別把f（x）和g（x）的解析式代入到f（x）+g（x）中，根據負數和0沒有對數得到x+1和4-2x都大于0，列出關于x的不等式組，求出不等式組的解集即為函數f（x）+g（x）的定義域；
（Ⅱ）f（x）-g（x）的值正數即為f（x）-g（x）大于0，即f（x）大于g（x），將f（x）和g（x）的解析式代入后，分a大于0小于1和a大于1兩種情況由對數函數的單調性即可列出x的不等式，分別求出不等式的解集，即可得到相應滿足題意的x的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（4-2x）
要使函數f（x）+g（x）的解析式有意義
自變量x須滿足

x+1＞0 4-2x＞0

解得-1＜x＜2
故函數f（x）+g（x）的定義域為（-1，2）
（II）由f（x）-g（x）＞0，得f（x）＞g（x），即loga（x+1）＞loga（4-2x），①
當a＞1時，由①可得x+1＞4-2x，解得x＞1，又-1＜x＜2，
∴1＜x＜2；
當0＜a＜1時，由①可得x+1＜4-2x，解得x＜1，又-1＜x＜2，
∴-1＜x＜1．
綜上所述：當a＞1時，x的取值范圍是（1，2）；
當0＜a＜1時，x的取值范圍是（-1，1）

點評：本題考查的知識點是對數函數的定義域，對數函數的單調性，其中（I）的關鍵是根據使函數的解析式有意義的原則，構造關于x的不等式組，（II）的關鍵是，對底數進行分類討論，結合對數函數的單調性，將問題轉化為整式不等式．