Question

某足球俱樂部2013年10月份安排4次體能測試，規定：按順序測試，一旦測試合格就不必參加以后的測試，否則4次測試都要參加。若運動員小李4次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數列，他第一次測試合格的概率不超過，且他直到第二次測試才合格的概率為。
（Ⅰ）求小李第一次參加測試就合格的概率P₁；
（2）求小李10月份參加測試的次數x的分布列和數學期望。

Answer 1

（Ⅰ）小李第一次參加測試就合格的概率為；（Ⅱ）則x的分布列為

x	1	2	3	4
P

小李10月份參加測試的次數x的數學期望為.

試題分析：（Ⅰ）求小李第一次參加測試就合格的概率，由題意小李4次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數列，可設第一次參加測試就合格的概率為，則小李四次測試合格的概率依次為，而他直到第二次測試才合格的概率為，即，解得或，又因為他第一次測試合格的概率不超過，可舍去；（Ⅱ）求小李10月份參加測試的次數x的分布列和數學期望，小李10月份參加測試的次數為，則，小李四次考核每次合格的概率依次為，根據相互獨立事件同時發生的概率，得到分布列和期望．
試題解析：（Ⅰ）設小李四次測試合格的概率依次為：
a, a＋, a＋, a＋(a≤)，                               (2分)
則(1－a)(a＋)＝，即,
解得(舍)，                                 (5分)
所以小李第一次參加測試就合格的概率為；                 (6分)
（Ⅱ）因為P(x＝1)＝， P(x＝2)=，P(x＝3)＝，
P(x＝4)＝1－P(x＝1)－P(x＝2)－P(x＝3)＝，            (8分)
則x的分布列為

x	1	2	3	4
P

(10分)
所以，           
即小李10月份參加測試的次數x的數學期望為.           (12分)