Question

（本小題滿分12分）如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，又PB=BC，PA=AB.

（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點Q是線段PA上任一點，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點Q的位置，使得PC//平面BDQ．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC
又DE垂直平分PC，∴DE⊥PC ∴PC⊥平面BDE，………… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD
因為 PA⊥底面ABC ，所以PA⊥BD
BD⊥平面PAC，所以點Q是線段PA上任一點都有BD⊥DQ     ………………………………… 8分
（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC= 計算得AD=AC 所以點Q在線段PA的處，即AQ=AP時，PC//QD，從而PC//平面BDQ ．                  ……………………………………… 12分