Question

【題目】已知點P（t，t1），t∈R，點E是圓上的動點，點F是圓上的動點，則|PF||PE|的最大值為______

Answer 1

【答案】4

【解析】

結合圖象發現兩圓位于P點所在直線的不同側，應先作出圓O：關于直線y=x1對稱的圓O1，把|PF||PE|轉化為|PF||PE′|，要使|PF||PE′|最大，則必須|PF|最大，|PE′|最小．

∵P（t，t1）∴P點在直線y=x1上，

作E關于直線y=x1的對稱點E′，且圓O：關于直線y=x1對稱的圓O1方程為：（x1）2+（y+1）2=，

所以E′在圓O1上，∴|PE|=|PE′|，

設圓的圓心為O2，

∴|PE′|≥|PO1||E′O1|，|PF|≤|PO2|+|FO2|，

∴|PF||PE|=|PF||PE′|≤（|PO2|+|FO2|）（|PO1||E′O1|）=|PO2||PO1|+2≤|O1O2|+2=4，

當P、E′、F、O1、O2五點共線，E′在線段PO1上，O2在線段PF上時成立．

因此，|PF||PE|的最大值為4．

故答案為4．