Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是它的一個焦點,又點在該橢圓上.
（1）求橢圓的方程;
（2）若斜率為直線與橢圓交于不同的兩點,當面積的最大值時，求直線的方程.

Answer 1

(1)； (2) 。

試題分析：(1)由已知拋物線的焦點為,
故設橢圓方程為                                ………2分
將點代入方程得,整理得,得或(舍) 
故所求橢圓方程為                                  ………5分
(2) 設直線的方程為,設
代入橢圓方程并化簡得,       
由,可得.       ( )
由,                              ………7分
故. 又點到的距離為,   ………9分
故,   ………11分
當且僅當,即時取等號(滿足式),取得最大值.
此時所求直線l的方程為                             ………12分
點評：中檔題，本題求橢圓的標準方程，運用的是“待定系數法”，注意明確焦點軸和p的值。研究直線與橢圓的位置關系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現解題目的。