Question

設橢圓C：

x2

a2

+y2=1（a＞0）的兩個焦點是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且橢圓C與圓x²+y²=c²有公共點．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓上的點到焦點的最短距離為

3

-

2

，求橢圓的方程；
（Ⅲ）對（2）中的橢圓C，直線l：y=kx+m（k≠0）與C交于不同的兩點M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點A（0，-1），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，a＞1，方程組

x2 a2 +y2=1 x2+y2=c2

有實數解，從而(1-

1

a2

)x2=c2-1≥0，由此能得到a的取值范圍．
（Ⅱ）設橢圓上的點P（x，y）到一個焦點F₂（c，0）的距離為d，則d2=(x-c)2+y2=x2-2cx+c2+1-

x2

a2

=

c2

a2

x2-2cx+c2+1
=

c2

a2

(x-

a2

c

)2（-a≤x≤a）．由

a2

c

＞a，當x=a時，d_min=a-c，于是，

a-c= 3 - 2 a2-c2=1

，由此能導出所求橢圓方程．
（Ⅲ）由

y=kx+m x2+3y2=3

，得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0．由直線l與橢圓交于不同兩點，知△＞0，由此入手能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知，a＞1，
∴方程組

x2 a2 +y2=1 x2+y2=c2

有實數解，從而(1-

1

a2

)x2=c2-1≥0，
故c²≥1，所以a²≥2，即a的取值范圍是[

2

，+∞)．
（Ⅱ）設橢圓上的點P（x，y）到一個焦點F₂（c，0）的距離為d，
則d2=(x-c)2+y2=x2-2cx+c2+1-

x2

a2

=

c2

a2

x2-2cx+c2+1
=

c2

a2

(x-

a2

c

)2（-a≤x≤a）．
∵

a2

c

＞a，
∴當x=a時，d_min=a-c，
（可以直接用結論）
于是，

a-c= 3 - 2 a2-c2=1

，
解得

a= 3 c= 2

．
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅲ）由

y=kx+m x2+3y2=3

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0（*）
∵直線l與橢圓交于不同兩點，
∴△＞0，即m²＜3k²+1．①
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個實數解，
∴x1+x2=-

6mk

3k2+1

，
∴線段MN的中點為Q(-

3mk

3k2+1

，

m

3k2+1

)，
又∵線段MN的垂直平分線恒過點A（0，-1），
∴AQ⊥MN，
即-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1（k≠0）②
由①，②得m²＜2m，0＜m＜2，又由②得m＞

1

2

，
∴實數m的取值范圍是(

1

2

，2)．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．