Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e=

2

2

，以F₁為圓心，|F₁F₂|為半徑的圓與直線x-

3

y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓的離心率為e=

2

2

，以F₁為圓心，|F₁F₂|為半徑的圓與直線x-

3

y-3=0相切，即可確定幾何量的值，從而可得橢圓C的方程；
（II）直線y=x代入橢圓方程，可求|AB|的長，求出點(diǎn)D到直線的距離的最大值，即可求得△ABD面積的最大值．

解答：解：（I）∵橢圓的離心率為e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

∵以F₁為圓心，|F₁F₂|為半徑的圓與直線x-

3

y-3=0相切
∴

|-c-3|

2

=2c，∴c=1
∴a=

2

，∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）直線y=x代入橢圓方程可得

3

2

x2=1，∴x=±

6

3

，∴|AB|=

4

3

3

設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為D（

2

cosα，sinα），則該點(diǎn)D到直線的距離為

| 2 cosα-sinα|

2

=

| 3 sin(α-φ)|

2

≤

3

2

∴△ABD面積的最大值為

1

2

×

4

3

3

×

3

2

=

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)到直線距離的最大值，屬于中檔題．