Question

數列滿足其中.
（I）求，猜想；（II）請用數學歸納法證明之．

Answer 1

（1）1，，，S_n＝.（2）見解析.

第一問中利用數列的賦值思想，由定積分得到 m=1，則可以得到借助于通項公式與前n項和關系求解前幾項的和，并猜想得到通項公式。運用數學歸納法加以證明即可。
解（I）　易得：
∵a_n>0，∴S_n>0，
由S₁＝(a₁＋)，變形整理得＝1，
取正根得S₁＝1.
由S₂＝ (a₂＋)及a₂＝S₂－S₁＝S₂－1得
S₂＝ (S₂－1＋)，變形整理得＝2，取正根得S₂＝.
同理可求得S₃＝.由此猜想S_n＝.
（II）用數學歸納法證明如下：
(1)當n＝1時，上面已求出S₁＝1，結論成立．
(2)假設當n＝k時，結論成立，即S_k＝.
那么，當n＝k＋1時，
S_k＋1＝ (a_k＋1＋)＝ (S_k＋1－S_k＋)
＝ (S_k＋1－＋)．
整理得S＝k＋1，取正根得S_k＋1＝.
故當n＝k＋1時，結論成立．(11分)
由(1)、(2)可知，對一切n∈N^*，S_n＝都成立．