Question

【題目】如圖,棱錐的地面是矩形, 平面,,.

（1）求證: 平面;

（2）求二面角的大小;

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題（1）利用空間向量證明線面垂直，即證平面的一個法向量為 ，先根據條件建立恰當直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數量積證明為平面的一個法向量，最后根據線面垂直判定定理得結論（2）利用空間向量求二面角，先利用解方程組的方法求出平面法向量，利用向量數量積求出兩法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系確定二面角大小

試題解析:證：（1）建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.

（2）由（1）得.

設平面PCD的法向量為，則，

即，∴故平面PCD的法向量可取為

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.

設二面角P—CD—B的大小為q，依題意可得.