Question

【題目】已知雙曲線上任意一點（異于頂點）與雙曲線兩頂點連線的斜率之積為.

（I）求雙曲線漸近線的方程；

（Ⅱ）過橢圓上任意一點P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，交兩漸近線于兩點，且，是否存在使得該橢圓的離心率為，若存在，求出橢圓方程：若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）存在，.

【解析】

（I）設，由可得，進一步得到漸近線方程；

（Ⅱ）設，則PM方程為，聯立漸近線方程得到，進一步得到，同理得到，再利用計算即可得到答案.

（1）設，

由，知，

所以，，得，即，

即雙曲線漸近線方程為；

（Ⅱ）由，

設，則PM方程為，

由，得；

由，得

又，所以，所以，，

同理可得，，

由是平行四邊形，知，

所以，，

即

所以，存在符合題意的橢圓，其方程為.

【點晴】

本題考查橢圓與雙曲線的綜合運用，涉及到求雙曲線漸近線方程以及橢圓的標準方程，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題.