Question

【題目】過點作一直線與拋物線交于，兩點，點是拋物線上到直線的距離最小的點，直線與直線交于點.

（Ⅰ）求點的坐標；

（Ⅱ）求證：直線平行于拋物線的對稱軸.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）到直線距離最小的點，可根據點到直線距離公式，取最小值時的點；也可根據幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點：如根據點到直線的距離

得當且僅當時取最小值，（Ⅱ）要證直線平行于拋物線的對稱軸，就是要證兩點縱坐標相等，設點 ，求出直線AP方程，與直線方程聯立，解出點縱坐標為.同理求出直線AB方程，與拋物線方程聯立，解出點縱坐標為.

試題解析：（Ⅰ）設點的坐標為，則，

所以，點到直線的距離

.

當且僅當時等號成立，此時點坐標為.………………………………4分

（Ⅱ）設點的坐標為，顯然.

當時，點坐標為，直線的方程為；

當時，直線的方程為，

化簡得；

綜上，直線的方程為.

與直線的方程聯立，可得點的縱坐標為.

當時，直線的方程為，可得點的縱坐標為.

此時，

即知軸，

當時，直線的方程為，

化簡得，

與拋物線方程聯立，消去，

可得，

所以點的縱坐標為.

從而可得軸，

所以，軸.……………………………………13分