Question

【題目】設函數(a>0，且a≠1)的反函數為，函數y=g(x)的圖像與的圖像關于點(a,0)對稱。

（1）求函數y=g(x)的解析式。

（2）是否存在實數a，使得當時，恒有成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由，得.

又y=g(x)的圖像與的圖像關于點( a,0)對稱，則有

.

（2）假設存在實數a，使得當時，不等式恒成立，則有，即.

由3a<a+2及a>0，得0<a<1.

因此，，即

解式①得.

由題設知.

所以，.

結合0<a<1，解得.

對于式②，令.

則[a+2，a+3]是不等式h(x)≤0的解集的子集的充要條件是

結合0<a<1，解得.

綜上所述存在，使得x∈[ a+2，a+3]時，不等式恒成立.