Question

已知數(shù)列{a_n}，如果數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足滿(mǎn)足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，則稱(chēng)數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=n，寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)為c_n=An+B，（A．、B是常數(shù)），試問(wèn)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是否是等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）已知數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)為dn=2n+n，設(shè){d_n}的“生成數(shù)列”為{p_n}．若數(shù)列{L_n}滿(mǎn)足Ln=

dn     n是奇數(shù) pn     n是偶數(shù)

求數(shù)列{L_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，代入計(jì)算，可得{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）表示出數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}的通項(xiàng)，分類(lèi)討論，可得結(jié)論；
（3）表示出L_n，再分類(lèi)討論，即可求數(shù)列{L_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵a_n=n，b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)
∴bn=

1                   n=1 2n-1            n≥2 ，n∈N*

∴b_n=2n-1；
（2）ln=

A+B                   n=1 2An+2B-A        n≥2 ，n∈N*

當(dāng)B=0時(shí)，l_n=2An-A，由于l_n+1-l_n=2A（常數(shù)），所以此時(shí)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}是等差數(shù)列．    
當(dāng)B≠0時(shí)，由于l₁=A+B，l₂=3A+2B，l₃=5A+2B，此時(shí)l₁+l₃≠2l₂，
所以此時(shí)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{l_n}不是等差數(shù)列．
（3）pn=

3                          n=1 3•2n-1+2n-1        n＞1

，Ln=

2n+n                 n是奇數(shù) 3•2n-1+2n-1     n是偶數(shù)

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，Tn=(2+1)+(23+3)+(25+5)+…+(2n-1+(n-1))+(3•2+3)+(3•23+7)+…+(3•2n-1+(2n-1))=

2

3

(2n-1)+

n2

4

+2n+1-2+

n(n+1)

2

=

8

3

(2n-1)+

3n2+2n

4

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，T_n=T_n+1-p_n+1=

8

3

(2n+1-1)+

3(n+1)2+2(n+1)

4

-(3•2n+(2n+1))
=

7•2n

3

+

3n2+1

4

-

8

3

=

7•2n

3

+

3

4

n2-

29

12

綜合：Tn=

7•2n 3 + 3 4 n2- 29 12                  n是奇數(shù) 8 3 (2n-1)+ 3n2+2n 4             n是偶數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．