Question

（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望;
（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.

Answer 1

(1)  ,參考解析;(2)參考解析

試題分析：(1)由袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元,又規定每位顧客從
一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額..由獲得60元的事件數除以總的事件數即可. 顧客獲得獎勵有兩種情況20元,60元.分別計算出他們的概率,再利用數學期望的公式即可得結論.
(2) 根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵為60元.根據題意有兩種獲獎勵的情況,確定符合題意的方案,分別僅有一種.再分別計算出兩種方案相應的概率以及求出數學期望和方差.即可得到結論.
試題解析：(1)設顧客所獲的獎勵為X. ①依題意,得.即顧客所獲得的獎勵額為60元的概率為.
②依題意,得X的所有可能取值為20,60. .即X的分布列為

X	20	60
P	0.5	0.5

所以顧客所獲得的獎勵額的期望為（元）.
(2)根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵為60元.所以先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以數學期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對兩個方案的分析:對于方案1,即方案(10,10,50,50),設顧客所獲的獎勵為,則的分布列為

	20	60	100

的期望為,的方差為.
對于方案2,即方案(20,20,40,40),設顧客所獲的獎勵為,則的分布列為

	40	60	80

的期望為, 的方差為.由于兩種方案的獎勵額都符合要求,但方案2獎勵的方差比方案1的小,所以應該選擇方案2.