Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且A=

π

3

．
（1）若a=1，面積S△ABC=

3

4

，求b+c的值；
（2）求

a

b-c

•sin(

π

3

-C)的值（注意，此問只能使用題干的條件，不能用（1）問的條件）．

Answer 1

分析：（1）由A的度數求出sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinA以及已知面積代入求出bc的值，利用余弦定理表示出cosA，將a及cosA的值代入，整理得到b²+c²的值，利用完全平方公式即可求出b+c的值；
（2）利用正弦定理化簡已知等式，將A的度數代入，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，約分即可得到結果．

解答：解：（1）∵A=

π

3

，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

4

，
∴bc=1，
由余弦定理得：

1

2

=cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-1

2

，
整理得：b²+c²=2，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=4，
∴b+c=2；
（2）由正弦定理知

a

b-c

•sin（

π

3

-C）=

sinA

sinB-sinC

•sin（

π

3

-C）
=

3 2 sin( π 3 -C)

sin( 2π 3 -C)-sinC

=

3 2 sin( π 3 -C)

3 2 cosC- 1 2 sinC

=

3 2 sin( π 3 -C)

sin( π 3 -C)

=

3

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．