Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B.

（Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）若，求 的最大值；

（Ⅲ）設，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C,D和點 共線，求k.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】分析：（1）根據題干可得的方程組，求解的值，代入可得橢圓方程；（2）設直線方程為，聯立，消整理得，利用根與系數關系及弦長公式表示出，求其最值；（3）聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理寫出兩根關系，結合三點共線，利用共線向量基本定理得出等量關系，可求斜率.

詳解：

（Ⅰ）由題意得，所以，

又，所以，所以，

所以橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設直線的方程為，

由消去可得，

則，即，

設， ，則， ，

則，

易得當時， ，故的最大值為．

（Ⅲ）設， ， ， ，

則 ①， ②，

又，所以可設，直線的方程為，

由消去可得，

則，即，

又，代入①式可得，所以，

所以，同理可得．

故， ，

因為三點共線，所以，

將點的坐標代入化簡可得，即．