Question

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．

Answer 1

（1）設正方形的對角線AC和BD相交于點O，∵M為的中點，ACEF為矩形，故MF和CO平行且相等，
故四邊形COFM為平行四邊形，故CM∥OF，
而OF?平面DFB，CM不在平面DFB內，∴CM∥平面DFB．
（2）以點C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標系，則點C（0，0），點A（

2

，

2

，0），點E（0，0，1），
點D（

2

，0，0），點M（

2

2

，

2

2

，1），
∴

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1），

DE

=（-

2

，0，1），|

AM

|=

2

，|

DE

|=

3

，

AM

•

DE

=1+0+1=2．
設

AM

、

DE

的夾角為θ，cosθ=

AM • DE

|AM |•| DE |

=

2

2 • 3

=

6

3

，故異面直線AM與DE所成的角的余弦值為

6

3

．