Question

已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x²+y²=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ>0）.求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線。

Answer 1

當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)（，0）；
當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為它表示圓，圓心的坐標(biāo)為（），半徑為。

試題分析：
思路分析：利用“直接法”求得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
討論λ=1和λ≠1的兩種情況。
當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于
點(diǎn)（，0）；
當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為它表示圓，圓心的坐標(biāo)為（），半徑為。
解：設(shè)MN切圓于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數(shù)λ＞0．因?yàn)閳A的半徑|ON|=1，
所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則，
整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P．故這個(gè)方程為所求的軌跡方程．
當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于
點(diǎn)（，0）；
當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為它表示圓，圓心的坐標(biāo)為（），半徑為。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，求軌跡方程方法較多，本題利用直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．