Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，是邊長為1的等邊三角形，M為線段中點，.

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)線段上是否存在點N，使得直線平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）線段BD上存在點N,使得直線平面AFN，且，詳見解析.

【解析】

（1）根據面面垂直的性質定理證得平面，由此證得.（2）取中點，中點，連接，證得兩兩垂直.分別以為軸建立空間直角坐標系，通過計算直線的方向向量和平面的法向量計算出線面角的正弦值.（3）通過向量共線設出點坐標，求得的坐標，根據列方程，解方程求得的值，由此證得存在點符合題意.

(1)證明：因為為正方形，

所以．

又因為平面平面，

且平面平面，

所以平面．

所以．

(2)取AD中點O,EF中點K，連接OB，OK.于是在△ABD中，，在正方ADEF中，又平面平面，故平面，進而，

即兩兩垂直．

分別以為x軸，y軸,z軸

建立空間直角坐標系（如圖）．

于是，，,,,

所以

設平面的一個法向量為，

則 即

令，則，則．

設直線與平面所成角為，

(3) 要使直線平面，只需，

設,則,

,

，所以,

又 ，由得

解得

所以線段BD上存在點N,使得直線平面AFN，且．