Question

若(2x-

2

2

)9展開(kāi)式的第7項(xiàng)為42，則

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得（2^x-

2

2

）⁹的展開(kāi)式的通項(xiàng)，進(jìn)而可以得到展開(kāi)式的第7項(xiàng)，依題意，其展開(kāi)式的第7項(xiàng)為42，可得關(guān)于x的關(guān)系式，解可得x的值，將x的值代入

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，化簡(jiǎn)計(jì)算可得答案．

解答：解：（2^x-

2

2

）⁹的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 Tr+1=

C

r 9

(2 x)9-r(-

2

2

)r
∴展開(kāi)式的第7項(xiàng)是T₇=

1

8

C₉⁶2^3x=

21

2

×2^3x，
∵展開(kāi)式的第7項(xiàng)是42，即

21

2

×2^3x=42，
化簡(jiǎn)可得3x=2，
解可得，x=

2

3

，

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)=

2 3

1 3

=2；
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意并結(jié)合二項(xiàng)式定理，求出x的值．