Question

已知A、B、C是球O的球面上三點，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面積為48π，則異面直線AB與OC所成角余弦值為

 

．

Answer 1

分析：由球的表面積公式，算出球的半徑R=2

3

，根據∠BAC=90°算出BC為平面ABC截球所得小圓的直徑．以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，可得∠OCD（或其補角）就是異面直線AB與OC所成角．再在△OCD中利用余弦定理加以計算，即可得到異面直線AB與OC所成角余弦值．

解答：解：設球O的半徑為R，
則球O的表面積為S=4πR²=48π，解得R=2

3

．
∵AB=2，BC=4，∠BAC=90°，
∴BC為平面ABC截球所得小圓的直徑，
以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，可得四邊形ACDB是截得小圓的內接矩形．
∵CD∥AB，∴∠OCD（或其補角）就是異面直線AB與OC所成角．
連線OD、OB，
△OCD中，CO=DO=R=2

3

，CD=AB=2．
∴cos∠OCD=

CO2+CD2-DO2

2×CO×CD

=

12+4+12

2×2 3 ×2

=

3

6

故答案為：

3

6

點評：本題在球當中求異面直線所成角的大小，著重考查了球的表面積公式、球的截面圓性質和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．