Question

設M是由滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：

①方程f(x)-x=0有實數根；②函數f(x)的導函數f′(x)滿足0＜f′(x)＜1.

（1）判斷函數f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并說明理由；

（2）集合M中的元素f(x)具有下列性質：

若f(x)的定義域為I，則對于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］,使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

    請利用這一性質證明：方程f(x)-x=0有唯一的實數根；

（3）若存在實數x₁,使得m中元素f(x)定義域中的任意實數a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立.證明：|f(b)-f(a)|＜2

Answer 1

解：（1）f′(x)=+cosx=(2+cosx),由于1≤2+cosx≤3,

∴0＜≤(2+cosx)≤＜1,

    又f(x)-x=0sinx-x=0sinx=2x,

    由于該方程有實數根x=0,

∴f(x)是集合m中的元素.

（2）由集合m的定義可知，集合m中的元素f(x)一定能使方程f(x)-x=0有實根。下面用性質證明解的唯一性。

    假設f(x)-x=0的實根多于一個，設x₁、x₂皆為該方程的實根，且x₁≠x₂，不妨設x₁＜x₂,

    則f(x₁)=x₁,f(x₂)=x₂,且［x₁,x₂］I.

∴存在x₀∈［x₁,x₂］,使f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)·f′(x₀)=x₂-x₁,

∴f′(x₀)=1這與已知f′(x)＜1矛盾.

∴方程f(x)-x=0有唯一實數根.

（3）證明：不妨設a＜b，由于f(x)是m中的元素，

∴0＜f′(x)＜1,∴f(x)為增函數，∴f(a)＜f(b).

    令F(x)=f(x)-x,則F′(x)=f′(x)-1,∵f′(x)＜1,

∴F′(x)＜0,即F(x)為減函數，F(a)＞F(b),

    而f(a)-a＞f(b)-b,f(b)-f(a)＜b-a,

∴|f(b)-f(a)|=f(b)-f(a)＜b-a＜b-x₁+x₁-a≤|b-x₁|+|x₁-a|,

    又|b-x₁|＜1,|a-x₁|＜1,

∴|f(b)-f(a)|＜2.