Question

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f^′（x）滿足
0＜f^′（x）＜1”
（I）證明：函數f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）是集合M中的元素；
（II）證明：函數f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）具有下面的性質：對于任意[m，n]⊆[0，

1

2

），都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．試用這一性質證明：對集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一個實數根．

Answer 1

分析：（I）根據所給的條件得到f′（x）∈[

3

4

，1）滿足條件0＜f′（x）＜1又因為當x=0時，飛（0）-0=0，所以方程飛（x）-x=0有實數根0．得到結論．
（II）要證等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（x_o）成立，先整理出f（n）-f（m），再做出和n-m的比值，根據等于的函數式整理出存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（x_o）成立．
（III）先假設方程有兩個實根，根據題意 存在c使得f（n）-f（m）=（n-m）f′（x_o）成立，得到矛盾，最后得到所給的方程只有一個實根．

解答：解：（I）證明：因為f′（x）=

3

4

+x²且0≤x＜

1

2

所以f′（x）=

3

4

+x²
∴f′（x）∈[

3

4

，1）滿足條件0＜f′（x）＜1
又因為當x=0時，飛（0）-0=0，所以方程飛（x）-x=0有實數根0．
所以函數f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）是集合M中的元素
（II）證明：∵f（n）-f（m）=

3

4

(n-m)+

(n-m)(n2+nm+m2)

3

∴

f(n)-f(m)

n-m

=

3

4

+

(n2+nm+m2)

3

∵[m，n]⊆[0，

1

2

）∴

f(n)-(m)

n-m

=

(n2+nm+m2)

3

∈（

3

4

+m²，

3

4

+n²）．
又∵f′（x）=

3

4

+x²，
∴當0≤m＜x＜n＜

1

2

時，f′（x）∈（

3

4

+m²，

3

4

+n²）．
∴存在x₀∈（m，n）使得

f(n)-(m)

n-m

=f′（x₀）也就是f（n）-（m）=（n-m）f′（x₀）；
（III）假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），則f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨設α＜β，根據題意存在數c∈（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f′（c）成立．
因為f（α）=α，f（β）=β且α≠β，所以f′（c）=1
與已知0＜f′（x）＜1矛盾，所以方程f（x）-x=0只有一個實數根．…（14分）

點評：本題考查函數恒成立問題，本題的題干比較長，解題的關鍵是讀懂題目，題目的運算量不大，只要理解題意這只是一道中檔題目，也可以作為一套試卷中的壓軸題目出現．