Question

已知奇函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，總有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-

2

3

．
（1）求證：f（x）是R上的減函數(shù)．
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）+f（x-3）≤-2，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0，再令y=-x即可證得f（-x）=-f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性的定義與奇函數(shù)的性質(zhì)，結合已知即可證得f（x）是R上的減函數(shù)．
（2）利用f（x）在R上是減函數(shù)可知f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)，易求f（3）=-2，從而可求得f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）依題意，f（x）+f（x-3）≤-2?f（2x-3）≤f（3）?2x-3≥3，從而可求故實數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（1）證明：令x=y=0，則f（0）=0，令y=-x則f（-x）=-f（x），---2’
在R上任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）------4分
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
又∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，有定義可知函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．--6分
（2）∵f（x）在R上是減函數(shù)，
∴f（x）在[-3，3]上也是減函數(shù)．
又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

2

3

）=-2，
由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，
故f（x）在[-3，3]上最大值為2，最小值為-2．------10分
（3）∵f（x）+f（x-3）≤-2，由（1）、（2）可得f（2x-3）≤f（3）
∴2x-3≥3，
∴x≥3，
故實數(shù)x的取值范圍為[3，+∞）．------12分

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，突出考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與最值的綜合應用，考查轉化思想與方程思想的綜合應用，屬于中檔題．