Question

【題目】定義在上的函數，給出下列四個命題：

①若是偶函數，則的圖像關于直線對稱；

②若，則的圖像關于點對稱；

③若，且，則的一個周期為2；

④與的圖像關于直線對稱；

其中正確命題的序號為________

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①若f（x）是偶函數，則f（x）的圖象關于y軸對稱，f（x+1）的圖象可由f（x）圖象向左平移1個單位得到，即可判斷；

②由f（x+a）+f（a﹣x）＝2b，則f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，即可判斷；

③由函數的對稱性得f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+2）＝f（x），即可判斷；

④令x+3＝t，則x＝t﹣3，則y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的圖象關于t＝3對稱，即可判斷．

①若f（x）是偶函數，則f（x）的圖象關于y軸對稱，

f（x+1）的圖象可由f（x）圖象向左平移1個單位得到，

故圖象關于直線x＝﹣1對稱，故①錯；

②若f（x+3）＝﹣f（3﹣x），即f（3+x）+f（3﹣x）＝0，

則f（x）的圖象關于點（3，0）對稱，故②對；

③若f（x+3）＝f（3﹣x），且f（x+4）＝f（4﹣x），

則f（x+6）＝f（﹣x），且f（x+8）＝f（﹣x），即有f（x+6）＝f（x+8）即有f（x+2）＝f（x），

則f（x）的一個周期為2，故③對；

④令x+3＝t，則x＝t﹣3，則y＝f（t）和y＝f（6﹣t）的圖象關于t＝3對稱，

則y＝f（x+3）與y＝f（3﹣x）的圖象關于直線x＝0對稱，故④錯．

故答案為：②③．