Question

【題目】已知函數是偶函數， （其中）.

（1）求函數的定義域；

（2）求的值；

（3）若函數與的圖象有且只有一個交點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】試題分析：（1）根據對數函數的性質有解不等式即可求出函數的定義域；
（2）函數是偶函數，所以= ，即有由此可求出k的值；
（3）函數與的圖象有且只有一個交點，即方程在上只有一解，令則，問題轉化為關于t的方程（a-1）t2-在（， 上只有一解，分三種情況進行討論即可求得的取值范圍.

試題解析：

（1）∵，且

∴

∴

所以定義域為

（2）∵是偶函數

∴對任意恒成立

即恒成立，

∴

（3）∵函數與的圖象有且只有一個交點

∴方程在上只有一解

即方程在上只有解

令則

因而等價于關于的方程在上只有一個解

①當時，解得，不合題意

②當0＜a＜1時，記h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，

其圖象的對稱軸t=＜0，

∴函數h（t）在（0，+∞）上遞減，而h（0）=﹣1，

∴方程在（，+∞）無解；

③當a＞1時，記h（t）=（a﹣1）t2﹣at﹣1，

其圖象的對稱軸t=＞0，h（0）=﹣1，

所以，只需h（）＜0，即（a﹣1）﹣a﹣1＜0，此恒成立，

∴此時a的范圍為a＞1，

綜上所述，所求a的取值范圍為a＞1．