Question

已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個(gè)極值點(diǎn)．

(1)求a；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a＝16（2）單調(diào)增區(qū)間為(－1,1)，(3，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)．（3）(32ln 2－21,16ln2－9)

【解析】f(x)的定義域?yàn)?/span>(－1，＋∞)．

(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，

∴a＝16.經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)x＝3為f(x)的極值點(diǎn)，故a＝16.

(2)由(1)知f′(x)＝.

當(dāng)－1<x<1或x>3時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)1<x<3時(shí)，f′(x)<0.

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1,1)，(3，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)．

(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，f′(x)＝0.所以f(x)的極大值為f(1)＝16ln 2－9，極小值為f(3)＝32ln 2－21.

因?yàn)?/span>f(16)>162－10×16>16ln 2－9＝f(1)，

f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，

所以根據(jù)函數(shù)f(x)的大致圖象可判斷，在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)內(nèi)，直線y＝b與y＝f(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)．

因此b的取值范圍為(32ln 2－21,16ln 2－9)．