Question

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，動點P在底面ABCD內，且P到棱AD的距離與到面對角線BC1的距離相等，則點P的軌跡是（　　）
A.線段
B.橢圓的一部分
C.雙曲線的一部分
D.拋物線的一部分

Answer 1

【答案】D
【解析】解：假設正方體邊長為1，
作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC1 ， 連接PF，
因為PE⊥CC1 ， BC∩CC1=C，所以PE⊥平面BCB1C1 ，
則PE⊥BC1 ， 又EF⊥BC1 ， PE∩EF=E，
所以BC1⊥平面PEF，則BC1⊥PF，
所以PF是P到對角線BC1的距離，
以D為原點，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立直角坐標系；
設任意一點P（x，y），到直線AD距離為|y|，到BC的距離PE=1﹣y，
在RT△BEF中，BE=1﹣x，EF= ，
在RT△PEF中，PF=
因為P到棱AD的距離與到對角線BC1的距離相等，
所以|y|= ，
化簡得，（x﹣1）2=﹣4y+2（y），
所以點P的軌跡是拋物線的一部分，
故選：D．

作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC1 ， 連接PF，由線面垂直的判定定理、定義可得：PF是P到BC1的距離，以D為原點，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立直角坐標系，利用條件建立方程，化簡后判斷出點P的軌跡．