Question

【題目】已知過原點的兩條互相垂直的直線與拋物線相交于不同于原點的兩點，且軸，的面積為16.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）已知點，，為拋物線上不同的三點，若，試問：直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點

【解析】

（1）不妨設點在第一象限，由軸知直線，的方程分別為，.代入拋物線方程得的坐標,由解得值，得到答案;(2) 由（1）可得點. 設直線的方程并與拋物線聯立，求出E,F的坐標，根據坐標寫直線EF的方程，化簡整理即可得到過的定點.

（1）不妨設點在第一象限，由題意知，直線，的傾斜角分別為，，

則直線，的方程分別為，.

代入拋物線方程得的坐標分別為，，

∴.解得.

故拋物線的標準方程為.

（2）由（1）可得點.由題意可設直線的方程為.

聯立得.

則.∴，.

同理可得，.

∴直線的方程為，

即.

∴

.

故直線過定點.