Question

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區間為（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示．
（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，求重量超過500 克的產品數量；
（Ⅱ）在上述抽取的40件產品中任取2件，設Y為重量超過505克的產品數量，求Y的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據頻率分步直方圖中所給的小矩形的長寬，做出小矩形的面積，得到這個范圍中的頻率，乘以樣本容量得到結果．
（II）由題意知Y的所有可能取值為0，1，2；重量超過505克的產品數量是40×（0.05×5+0.01×5），重量未超過505克的產品數量是28件，結合變量對應的事件寫出概率和分布列，得到期望值．

解答：解：（I）根據頻率分步直方圖中所給的小矩形的長寬，做出小矩形的面積，得到這個范圍中的頻率，
重量超過505克的產品數量是40×（0.07×5+0.05×5+0.01×5）=26件；
（Ⅱ）由題意知Y的所有可能取值為0，1，2；
重量超過505克的產品數量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件，
重量未超過505克的產品數量是28件．
P(Y=0)=

C 2 28

C 2 40

=

63

130

，P(Y=1)=

C 1 12 C 1 28

C 2 40

=

56

130

，P(Y=1)=

C 2 12

C 2 40

=

11

130

，
∴Y的分布列為

Y	0	1	2
P	63 130	56 130	11 130

∴Y的期望為EY=0×

63

130

+1×

56

130

+2×

11

130

=

39

65

點評：本題考查頻率分步直方圖和離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是寫出每一個范圍里的頻數，才能利用它來求概率．