Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點.

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用離心率及解出和得到橢圓的標準方程；第二問，先設出直線的方程，因為直線與橢圓相交，消參得關于的方程，因為相交于2個交點，所以得到的取值范圍，設出點坐標，則求出兩根之和、兩根之積及，所以，將上述的條件代入，得到的表達式，求最值；第三問，先通過對稱，得到點的坐標，列出直線的方程，令，得的值正好得1，所以得證.
試題解析：(1)解：由題意知，∴，即，
又，∴，
故橢圓的方程為 .    2分
(2)解：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，
由得：，      4分
由得：，
設A(x1，y1)，B (x2，y2)，則　�、�
∴，
∴
∵，∴，∴，
∴的取值范圍是.
（3）∵兩點關于軸對稱，∴，
直線的方程為，令得：
又，，∴，
由將①代入得：，∴直線與軸交于定點.