Question

設定義在區間[x₁，x₂]上的函數y=f（x）的圖象為C，點A、B的坐標分別為（x₁，f（x₁）），（x₂f（x₂））且M（x，f（x））為圖象C上的任意一點，O為坐標原點，當實數λ滿足x=λx₁+（1-λ）x₂時，記向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

．若|

MN

|≤k恒成立，則稱函數y=f（x）在區間[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似，其中k是一個確定的正數．
（Ⅰ）求證：A、B、N三點共線
（Ⅱ）設函數f（x）=x²在區間[0，1]上可的標準k下線性近似，求k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：函數g（x）=lnx在區間（e^m，e^m+1）（m∈R）上可在標準k=

1

8

下線性近似．
（參考數據：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件得

BN

=λ

BA

，從而可得A、B、N三點共線．
（Ⅱ）由已知可得 N和M的橫坐標相同，根據 |

MN

|=x-x²=-(x-

1

2

)2-

1

4

及x的范圍，求出|

MN

|的范圍，再由|

MN

|≤k恒成立，求得k的取值范圍．
（Ⅲ）先求出AB的方程為y-m=

1

em+1-em

（x-e^m ），其中x∈[e^m，e^m+1]，令h（x）=lnx-m-

1

em+1-em

（x-e^m ），求出它的導數h′（x），再利用導數求出
函數h（x）在[e^m，e^m+1]上的最大值，即|

MN

|的最大值，可得|

MN

|≤

1

8

成立，故要證得結論成立．

解答：解：（Ⅰ）由

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

得

BN

=λ

BA

，∴A、B、N三點共線．
（Ⅱ）由x=λx₁+（1-λ）x₂ ，

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，得 N 和M的橫坐標相同．
對于區間[0，1]上的函數f（x）=x² ，A（0，0）、B（1，1），則有 |

MN

|=x-x²=-(x-

1

2

)2-

1

4

，
∴|

MN

|∈[0，

1

4

]．
再由|

MN

|≤k恒成立，可得 k≥

1

4

．故k的取值范圍為[

1

4

，+∞）．
（Ⅲ）對定義在區間（e^m，e^m+1）（m∈R）上的函數函數g（x）=lnx，A （e^m，m）、B（e^m+1，m+1）．
AB的方程為y-m=

1

em+1-em

（x-e^m ），其中x∈[e^m，e^m+1]．
令h（x）=lnx-m-

1

em+1-em

（x-e^m ），則h′（x）=

1

x

-

1

em+1-em

．
由于導數h′（x） 在x=e^m+1-e^m 處的符號左正右負，故函數h（x）  在x=e^m+1-e^m 處取得極大值，
再由x∈[e^m，e^m+1]時，極大值僅此一個，故此極大值是函數h（x）的最大值．
故函數h（x）的最大值為h（e^m+1-e^m）=ln（e-1）-

e-2

e-1

≈0.123＜

1

8

，
即|

MN

|=h（x） 當x∈[e^m，e^m+1]時，有|

MN

|≤

1

8

成立，故要證的結論成立．

點評：本題主要考查三點共線問題、利用導數研究函數的單調性，通過函數的單調性求函數在閉區間上的最值，函數的恒成立問題，屬于中檔題．