Question

（本小題滿分16分）

設定義在區間[x₁， x₂]上的函數y=f(x)的圖象為C，M是C上的任意一點，O為坐標原點，設向

量=，，=(x，y)，當實數λ滿足x=λ x₁+(1－λ) x₂時，記向

量=λ+(1－λ)．定義“函數y=f(x)在區間[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似”是指

“k恒成立”，其中k是一個確定的正數．

（1）設函數 f(x)=x²在區間[0，1]上可在標準k下線性近似，求k的取值范圍；

（2）求證：函數在區間上可在標準k=下線性近似．

（參考數據：e=2.718，ln(e－1)=0.541）

Answer 1

【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，

所以B，N，A三點共線，                                        ……………………2分

又由x=λ x₁+(1－λ) x₂與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標相同． ……………4分

對于 [0，1]上的函數y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

則有，故；

所以k的取值范圍是．                                    ……………………6分

（2）對于上的函數，

A()，B()，                                       ……………………8分

則直線AB的方程，                        ……………………10分

令，其中，

于是，                                       ……………………13分

列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		減	0

則，且在處取得最大值，

又0.123，從而命題成立．        ……………………16分