Question

（20）已知集合A=｛a₁，a₂，…，a_k｝（k≥2），其中a_i∈Z（i=1，2，…，k）.由A中的元素構成兩個相應的集合：

S=｛（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A｝；T=｛（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A｝，

其中（a，b）是有序數對.集合S和T中的元素個數分別為m和n.

若對于任意的a∈A，總有-aA，則稱集合A具有性質P.

（Ⅰ）檢驗集合｛0，1，2，3｝與｛－1，2，3｝是否具有性質P，并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T；

（Ⅱ）對任何具有性質P的集合A，證明：n≤；

（Ⅲ）判斷m和n的大小關系，并證明你的結論.

Answer 1

（Ⅰ）解：集合｛0，1，2，3｝不具有性質P.

集合｛－1，2，3｝具有性質P，其相應的集合S和T是

S=｛（－1，3），（3，－1）｝，T=｛（2，－1），（2，3）｝.

（Ⅱ）證明：首先，由A中元素構成的有序數對（a_i，a_j）共有k²個.

因為0A，所以（a_i，a_j）T（i=1，2，…，k）；

又因為當a∈A時，-aA，所以當（a_i，a_j）∈T時，（a_j，a_i）T（i,j=1，2，…，k）.

從而，集合T中元素的個數最多為（k²-k）=，即n≤.

（Ⅲ）解：m＝n.證明如下：

（1）對于（a，b）∈S，根據定義，a∈A，b∈A，且a+b∈A，從而（a+b，b）∈T.

如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，

從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立，

故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素.

可見，S中元素的個數不多于T中元素的個數，即m≤n.

（2）對于（a，b）∈T，根據定義，a∈A，b∈A，且a-b∈A，從而（a-b，b）∈S.

如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，

從而a-b=c-d與b=d中也至少有一個不成立，

故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元素.

可見，T中元素的個數不多于S中元素的個數，即n≤m.

由（1）（2）可知，m=n.