Question

已知定義在實數集R上的奇函數f（x）有最小正周期2，且當x∈（0，1）時，．

（Ⅰ）求函數f（x）在（﹣1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調性；
（Ⅲ）當λ取何值時，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有實數解？

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函數，∴f（0）=0.
設x∈（﹣1，0），則﹣x∈（0，1），==﹣f（x）
∴
∴
（Ⅱ）證明：設0＜x₁＜x₂＜1，則，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴，，
∴f（x₁）﹣f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上為減函數．
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上為減函數，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即
同理，f（x）在（﹣1，0）上時，f（x）
又f（0）=0
當或或λ=0時方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有實數解．