Question

【題目】已知分別是橢圓C: 的左、右焦點，其中右焦點為拋物線的焦點，點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設與坐標軸不垂直的直線過與橢圓C交于A、B兩點，過點且平行直線的直線交橢圓C于另一點N，若四邊形MNBA為平行四邊形，試問直線是否存在？若存在，請求出的斜率；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線不存在.

【解析】試題分析：（1）根據點在橢圓上以及題目中的條件得到，進而得到橢圓方程；（2）因為四邊形MNBA為平行四邊形，所以|AB|=|MN|，聯立直線和橢圓得到二次方程，根據弦長公式可得到方程，進而解得參數值.

解析：

（1）由的焦點為（1,0）可知橢圓C的焦點為

又點在橢圓上，得，

橢圓C的標準方程為

（2）由題意可設直線的方程為， 由得，所以.

所以|AB|==.

又可設直線MN的方程為， 由得，因為，所以可得。|MN|==.

因為四邊形MNBA為平行四邊形，所以|AB|=|MN|.

即， ，

但是，直線的方程過點，即

直線AB與直線MN重合，不合題意，所以直線不存在.