Question

【題目】已知數列滿足，，是數列的前項的和.

（1）求數列的通項公式；

（2）若，，成等差數列，，18，成等比數列，求正整數的值；

（3）是否存在，使得為數列中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2），.（3）或14.

【解析】試題分析：（1）當時，，，當時，由 列是首項為2，公差為1的等差數列 .

（2）建立方程組，或.當 ，當 無正整數解，綜上，.

（3）假設存在正整數，使得， ，或，，，（舍去） 或14.

試題解析：

（1）因為，，

所以當時，，，

當時，

由 和，

兩式相除可得，，即

所以，數列是首項為2，公差為1的等差數列.

于是，.

（2）因為，30，成等差數列，，18，成等比數列，

所以，于是，或.

當時，，解得，

當時，，無正整數解，

所以，.

（3）假設存在滿足條件的正整數，使得，

則，

平方并化簡得，，

則，

所以，或，或，

解得：，或，，或，（舍去），

綜上所述，或14.