Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，PA⊥平面ABCD，E是PD的中點，AB=BC=1，PA=AD=2．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求證：CD⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理證明．
（2）利用線面垂直的判定定理證明．

解答：解：（1）取PA的中點F，連結EF，BF，在△PAD中，E是PD的中點，AD=2，
所以EF∥AD，EF=

1

2

AD=1，
又因為AD∥BC，BC=1，
所以四邊形BCEF為平行四邊形，
所以CE∥BF．
又因為CF?平面PAB，BE?平面PAB，
所以CE∥平面PAB．
（2）梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2
所以解得AC=

2

，取AD的中點G，連結CG，則AG=GD=1，
所以四邊形ABCG是矩形，CG=AB=1．
Rt△CGD中，CD=

2

，
在三角形ACD中，AC²+CD²=AD²，
所以∠ACD=90°，即CD⊥AC．
又因為PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
所以PA⊥CD，
又PA?面PAC，AC?面PAC，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC．

點評：本題主要考查線面平行和垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理的應用．