Question

設a、b為常數，M＝{f(x)|f(x)＝acosx＋bsinx}；F：把平面上任意一點(a，b)映射為函數acosx＋bsinx．

(1)證明：不存在兩個不同點對應于同一個函數；

(2)證明：當f₀(x)∈M時，f₁(x)＝f₀(x＋t)∈M，這里t為常數；

(3)對于屬于M的一個固定值f₀(x)，得M₁＝{f₀(x＋t)，t∈R}，在映射F的作用下，M₁作為象，求其原象，并說明它是什么圖象？

Answer 1

答案：
解析：

(1)假設有兩個不同的點(，)，(，)對應同一函數， 　　即與相同， 　　即對一切實數x均成立 　　特別令x＝0，得a＝c；令，得b＝d這與(a，b)，(c，d)是兩個不同點矛盾，假設不成立 　　故不存在兩個不同點對應同一函數 　　(2)當時，可得常數a0，b0，使 　　 　　 　　由于為常數，設是常數 　　從而 　　(3)設，由此得 　　(，) 　　在映射F下，的原象是(m，n)，則M1的原象是 　　 　　消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原點為圓心，為半徑的圓