Question

設F₁、F₂是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF₁|：|PF₂|=2：1，則△PF₁F₂的面積等于

4

．

Answer 1

分析：根據橢圓方程，得a=3，橢圓的焦點為F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0）．由橢圓的定義結合|PF₁|：|PF₂|=2：1，得|PF₁|=4，|PF₂|=2，結合勾股定理的逆定理得△PF₁F₂是以P為直角頂點的直角三角形，由此不難得到△PF₁F₂的面積．

解答：解：∵橢圓的方程為

x 2

9

+

y 2

4

=1，
∴a=3，b=4，c=

a2-b2

=

5

．得橢圓的焦點為F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，且|PF₁|：|PF₂|=2：1
∴|PF₁|=4，|PF₂|=2可得|PF₁|²+|PF₂|²=20=|F₁F₂|²，
因此，△PF₁F₂是以P為直角頂點的直角三角形，
得△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=4
故答案為：4

點評：本題給出橢圓的兩條焦半徑的比值，求焦點三角形的面積，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．