Question

已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），直線MP，NP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是-

1

3

，點(diǎn)P的軌跡記為D．△ABC的頂點(diǎn)A，B在D上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求曲線D的方程；
（2）若AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求AB的長及△ABC的面積；
（3）若線段AB的垂直平分線與線段BC的垂直平分線交于線段AC的中點(diǎn)，求△ABC的外接圓面積最大時(shí)線段AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)題中條件求曲線D的方程．
（2）坐標(biāo)原點(diǎn)是曲線D的圓心，故AB邊是圓的直徑，AB與直線l之間的距離為△ABC的高，，△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d
（3）圓心在弦的中垂線上，直徑對(duì)的圓周角等于90度，當(dāng)所求圓的半徑最大時(shí)，所求圓的面積最大．

解答：解；（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（ x，y），由條件得：

y

x+2

•

y

x-2

=-1，化簡得：曲線D的方程為：x²+y²=4，表示一個(gè)圓．
（2）∵點(diǎn)A，B在D上，AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，故AB邊是圓的直徑，∴AB=4，且AB方程為：y=x，
AB與直線l之間的距離d=

2

2

=

2

2

，△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d=

2

．
（3）∵線段AB的垂直平分線與線段BC的垂直平分線交于線段AC的中點(diǎn)，
∴線段AC的中點(diǎn)是△ABC外接圓的圓心，且AB⊥BC，∴點(diǎn)C還在圓x²+y²=4 上，
外接圓半徑r=

1

2

AC，又AC最大為圓x²+y²=4 的直徑4，
∴r=

1

2

AC的最大值是2，此時(shí)，A（0，-2），C（0，2）
AB方程為y+2=1•（x-0），即：x-y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求曲線的方程，綜合運(yùn)用圓的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，屬于難題．