Question

建造一個容積為8立方米，深為2米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價為每平方米1百元，池底的造價為每平方米3百元，設總造價為y（百元），底面一邊長為x（米）．
（1）寫出y關于x的函數關系式；
（2）求出總造價y的最小值．

Answer 1

分析：1）mh 無蓋長方體蓄水池容積為8立方米，深為2米，底面一邊長為x米，知底面另一邊長為

8

2x

=

4

x

米，底面積為

8

2

=4平方米，從而求出池壁的面積為2×2x+2×2×

4

x

（平方米），再由池壁的造價為每平方米1百元，池底的造價為每平方米3百元，能求出總造價．
（2）由y=4x+

16

x

+12=4(x+

4

x

)+12，知y′=4-

16

x2

，令y′=4-

16

x2

=0，得x=2，或x=-2（舍），由y=4x+

16

x

+12在（0，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增，知x=2時，y有最小值，由此能出總造價y的最小值．

解答：解：（1）∵無蓋長方體蓄水池容積為8立方米，深為2米，底面一邊長為x米，
∴底面另一邊長為

8

2x

=

4

x

米，底面積為

8

2

=4平方米，
∴池壁的面積為2×2x+2×2×

4

x

（平方米），
∵池壁的造價為每平方米1百元，池底的造價為每平方米3百元，
∴總造價y=(2×2x+2×2×

4

x

)×1+

8

2

×3=4x+

16

x

+12（x＞0）
（2）y=4x+

16

x

+12=4(x+

4

x

)+12，
y′=4-

16

x2

，
令y′=4-

16

x2

=0，得x=2，或x=-2（舍）
∵x＞0，在（0，2]上，y′=4-

16

x2

＞0，在[2，+∞）上，y′=4-

16

x2

＜0，
∴y=4x+

16

x

+12在（0，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增
∴x=2時，y有最小值4×(2+

4

2

)+12=28．

點評：本題考查函數解析式的求法和求函數值的最小值，解題時要認真審題，仔細尋找數量間的相互關系，合理地建立方程，利用導數求解函數值．