Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（2x）=2f²（x）-1，現給定下列幾個命題：
①f（x）不可能是奇函數； ②f（x）≥-1；
③f（x）不可能是常數函數；④若f（x₀）=a（a＞1），則不存在常數M，使得f（x）≤M成立．
在上述命題中錯誤命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：本題是一個多選題，對抽象表達式f（2x）=2f²（x）-1表達的函數性質進行推斷，應該注意函數f（x）=cosx符合此表達式，易判斷①②③的真假，至于選項④，顯然不是函數f（x）=cosx的性質，應為真命題

解答：解：∵f（0）=2f²（0）-1，∴f（0）≠0，故f（x）不可能是R上的奇函數，①正確
∵f（x）=2f²（

x

2

）-1≥-1，故②正確
若f（x）=m，則m=2m²-1即2m²-m-1=0，m=1或m=-

1

2

，故f（x）可能是常數函數y=1或y=-

1

2

，故③是假命題
若f（x₀）=a（a＞1），則此函數沒有上界，即不存在常數M，使得f（x）≤M成立，故④為真命題
故選A

點評：本題考察了抽象函數表達式的意義，解題時要能透過現象看到本質，熟練的運用特殊函數，特殊值等方法準確做出判斷