Question

【題目】已知函數f（x）＝ax2ex﹣1（a≠0）.

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）已知a＞0且x∈[1，+∞），若函數f（x）沒有零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當a＞0時，f（x）的單調遞增區間為（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），單調遞減區間為（﹣2,0）；當a＜0時，f（x）的單調遞增區間為（﹣2,0），單調遞減區間為（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）.

【解析】

（1）先求導f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），再分a＞0和a＜0進行討論即可得解；

（2）根據（1）可知，當a＞0時， f（x）在x∈[1，+∞）上單調遞增，則保證f（1）＞0即可得解.

（1）f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），

令f'（x）＝0，則x＝0或x＝﹣2，

①若a＞0，

當x＜﹣2時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當﹣2＜x＜0時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x＞0時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

②若a＜0，

當x＜﹣2時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

當﹣2＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；

綜上所述，當a＞0時，f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），單調遞減區間為（﹣2，0）；

當a＜0時，f（x）的單調遞增區間為（﹣2，0），單調遞減區間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.

（2）當a＞0時，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上單調遞增，

若函數沒有零點，則f（1）＝ae﹣1＞0，解得，

故a的取值范圍為.