Question

甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為

1

2

，且各局勝負相互獨立．求：
（Ⅰ）打滿3局比賽還未停止的概率；
（Ⅱ）比賽停止時已打局數ξ的分別列與期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）打滿3局比賽還未停止即在三局比賽中沒有人連勝兩局，分析其可能情況，每局比賽的結果相互獨立且互斥，利用獨立事件、互斥事件的概率求解即可．
（2）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，分別求出ξ取每一個值的概率，列出分布列即可．

解答：解：令A_k，B_k，C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．
（Ⅰ）由獨立事件同時發生與互斥事件至少有一個發生的概率公式知，打滿3局比
賽還未停止的概率為P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．
（Ⅱ）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=

1

22

+

1

22

=

1

2

，P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=

1

23

+

1

23

=

1

4

．P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=

1

24

+

1

24

=

1

8

．P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=

1

25

+

1

25

=

1

16

，
故有分布列

ξ	2	3	4	5	6
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

從而Eξ=2×

1

2

+3×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

16

+6×

1

16

=

47

16

（局）．

點評：本題考查互斥、獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望等知識，同時考查利用概率知識解決問題的能力．