Question

過拋物線y²=4x的焦點作一條傾斜角為 α，長度不超過8的弦，弦所在的直線與圓x2+y2=

3

4

有公共點，則 α的取值范圍是

[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]

．

Answer 1

分析：設出弦所在的直線方程，代入拋物線y²=4x化簡，利用一元二次方程根與系數的關系求得 x₁+x₂=2+

4

k2

．根據弦的長度不超過8，結合拋物線的定義可得|AB|=2+x₁+x₂≤8，由此求得k的范圍．再由圓心（0，0）到弦所在的直線 kx-y-k=0的距離小于或等半徑，求得k的范圍．最后把這2個k的范圍取交集，可得k的準確范圍．由于k的范圍就是tanα的范圍，再由0≤α＜π求得α的范圍．

解答：解：拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），當α=90°時，|AB|=2p=4＜8，故不滿足條件，
故α≠90°．
設弦所在的直線方程為 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入拋物線y²=4x可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

．
由于弦長度不超過8，且由拋物線的定義可得|AB|=2+x₁+x₂，∴2+

4

k2

≤6，k²≥1，
故有 k≤-1，或 k≥1 ①．
再由弦所在的直線與圓x2+y2=

3

4

有公共點，可得圓心（0，0）到弦所在的直線 kx-y-k=0的距離小于或等半徑，
即

|0-0-k|

k2+1

≤

3

2

．
解得-

3

≤k≤

3

，且 k≠0 ②．
由①②可得 1≤k≤

3

，或-

3

≤k≤-1，即 1≤tanα≤

3

 或-

3

≤tanα≤-1．
再由 0≤α＜π可得，α的范圍是[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]，
故答案為[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，拋物線的定義和標準方程的應用，三角不等式的解法，屬于中檔題．