Question

（本小題滿分12分）

已知函數在其定義域上滿足．

（1）函數的圖象是否是中心對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；

（2）當時，求x的取值范圍；

（3）若，數列滿足，那么：

①若，正整數N滿足時，對所有適合上述條件的數列，恒成立，求最小的N；

②若，求證：．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）依題意有．若，則，得，這與矛盾，∴，∴，故的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點．………（3分）

（2）∵，∴即又∵，∴

得．………（6分）

（3）① 由得，∴．由得，

即．令，則，又∵，∴，∴．

∵，∴，∴當時，．

【或∵，∴】

又∵也符合，∴，即，得．要使恒成立，只需，即，∴．故滿足題設要求的最小正整數 

② 由①知，∴，

，∴當時，不等式成立．

證法1：∵，∴當時，

．………（12分）

證法2：∵，∴當時，

．………（12分）

證法3：∵，∴當時，

（12分）

證法4：當時，∵，∴

，∴

．………（12分）

證法5：∵，

∴當時，．

綜上，對任意的，都有．………（12分）

【解析】略